Limit and Continuity of Multivariate Functions
단변수 함수(Univariable function)의 극한 개념은 함수가 특정 점에 접근할 때 함수값이 어떤 값에 가까워지는지를 다룬다. 이 개념은 미적분학의 기초를 이루며, 연속성, 미분, 적분 등의 정의에 필수적으로 사용된다.
다변수 함수 (Multivariavle function)의 경우에도 마찬가지로, 함수값이 어떤 점에 접근할 때 특정한 값에 가까워지는지를 논의할 수 있다. 그러나 독립변수가 두 개 이상일 경우, 점에 접근하는 경로가 무수히 많다는 점에서 단변수 함수보다 훨씬 더 복잡하다. 즉, 극한이 존재하려면 모든 가능한 경로를 따라 함수값이 동일한 값에 수렴해야 한다.
예를 들어, 함수 f(x, y)가 (x, y) → (a, b)일 때 극한 L이 존재한다고 말하기 위해서는, (a, b)에 접근하는 임의의 경로에 대하여 f(x, y)가 항상 L에 가까워져야 한다. 만약 어떤 경로에서는 L에 수렴하지만 다른 경로에서는 다른 값으로 수렴한다면, 극한은 존재하지 않는다.
따라서 다변수 함수의 극한 개념은 경로 독립성(path-independence) 이라는 조건을 내포하며, 이는 다변수 해석학에서 중요한 주제가 된다.
1. Multivariable Function
실수의 순서쌍 (x, y) 들의 한 집합 D의 각 원소 (x, y)에 하나의 실수값 z를 대응시키는 대응규칙 f를 두 변수 x, y의 함수, z를 f(x, y)의 값이라고 하고, z = f(x, y) 또는 z = f(x, y)로 나타낸다.
이때, D를 f의 정의역(domain), D의 각 원소에 대한 z의 값의 집합을 치역(range) 이라고 한다.
그리고 f를 2변수함수, x 및 y를 독립변수, z를 종속변수라고 한다.
2변수함수 z = f(x, y)의 그래프는 실수의 순서모임 (x, y, z)들의 집합 G = {(x, y, z) : (x, y)∈D, z=f(x, y)}이며, 3차원 공간의 한 곡면 (surface) 을 나타낸다.
예를 들어 함수
\[z=\sqrt{9−x^2−y^2}\]의 정의역은 원 x²+y²=9 위의 점 또는 내부의 점 전체의 집합이며, 영역은 0 ≤ z ≤ 3이고, 그래프는 다음 구면의 윗부분이다.
\[x^2+y^2+z^2=9\]일반적으로 독립적으로 변하는 n개의 변수 x₁, x₂, …, xₙ에 대하여 순서모임 (x₁, x₂, …, xₙ)에 한 실수값 y를 대응시키는 대응규칙 f를 n변수함수라고 하고, 이를 y=f(x₁, x₂, …, xₙ), 또는 y=f(x₁, x₂, …, xₙ)와 같이 나타낸다.
두 개 이상의 변수의 함수를 다변수함수라고 한다.
2변수함수에 대한 이론은 그대로 다변수함수의 이론으로 확장할 수 있으므로, 이 장에서는 주로 2변수함수 에 대하여 생각한다.
2. Limitation & Continuity of Two-variable function
2변수함수 f(x, y)가 다음 세 가지 조건을 만족하면 함수 f는 (a, b)에서 연속이라고 한다.
\[① \; f(a, b)의 \ 값이 \ 유일하게 \ 정의된다.\] \[② \; \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) \; \text{가 존재한다.}\] \[③ \; \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b)\]우선 2변수함수의 극한에 대해서 생각해 보자. 1변수함수에서와 마찬가지로 (x, y)가 (x₀, y₀)로 접근할 때 f(x, y)가 어떤 일정한 수 L로 접근하면 우리는 이 L을 (x, y)가 (x₀, y₀)로 접근할 때 f(x, y)의 극한값이라 한다.
이때, 우리는 (x₀, y₀)로 접근하는 길이 무수히 많음을 알 수 있다. 따라서 극한값이 존재한다는 것은 (x, y)가 어떤 길을 밟아도 (x₀, y₀)로 접근하면 f(x, y)가 같은 수로 접근한다는 것이다.
정확한 극한의 정의는 다음과 같다.
Theorem : 극한의 형식적 정의
f를 2변수함수라 하고 그 정의역 D는 점 (a, b)에 가까이 있는 점들을 포함한다고 하자.
임의의 ε > 0에 대하여
일 때마다
\[|f(x,y) - L| < \varepsilon\]이 성립하는 δ > 0이 존재할 때,
\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L\]이라 쓰고, (x, y)가 (a, b)에 접근할 때 f(x, y)의 극한값은 L이라고 말한다.
극한이 존재한다면, (x, y)를 (a, b)에 접근시키는 방법과는 상관없이 f(x, y)는 같은 극한을 가져야 한다.
그러므로 f(x, y)가 두 개의 다른 극한을 가지는 두 개의 다른 접근로가 발견된다면 다음 극한은 존재하지 않는다.
위 정리가 그 유명한 Epslion-Delta Theorem 이다.
하지만 모든 극한에서 저 정의를 사용하기 쉽지 않다.
따라서 다음 3단계를 거치고 최종적으로 사용하는게 편하다.
여기서 3번 조건은 문제에 따라 달라지지만 그 유명한 path test 이다.
이해를 위해 예제와 함께 이해하자.
문제 1
\[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}\]일단 대충 x -> 0, y -> 0 으로 보내면 0/0 부정형(negative form)이다.
위 3단계 대로 풀어나가 보자.
순서는 y -> 0, x->0 그리고 y = mx (path test) 이다. 여기서 path test할때 직선으로 할지, 곡선으로 할지 헷갈릴 수 있는데 차수를 맞춰준다고 생각하면 편하다. 그리고 path는 원점(origin) 을 지나가야 함을 숙지하다.
문제 2
3. Limitation of Homogeneous Function
위 path test 극한은 예제를 보면 알겠지만, x -> a, y -> b 보냈을때 분모가 사라지지는 않는다.
동차함수에 대해서는 이를 잘 풀어나갈 수 있다.
Theorem : Limitation of Homogeneous Function
을 만족하는 f(x,y)를 n^th 동차함수라고 한다. 이때
\[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\text{(n차 동차함수)}}{\text{(m차 동차함수)}}\]위를 만족하는 극한에 대하여
n>m 이면 극한값이 0으로 존재한다.
n≤m 이면 극한값이 존재하지 않는다.
4. Conclusion
먼저 path test를 보고, 안되는 조건일 경우 homogeneous를 만족하는지 혹은 우리가 아는 equation 꼴인지 확인하면 된다.
그리고 (0,0)으로 보내는 극한일 경우 M-Series를 사용하는 것도 좋다.
마지막 예제를 보고 마무리하자.